Находим полупериметр треугольника АВС:
Теперь выразим стороны четырехугольника APKС. Пусть АВ=СВ=Х. Тогда . Поскольку , то тогда . Поэтому все стороны описанного четырехугольника APKC становятся выраженными через X. Применяя свойство описанного четырехугольника получим уравнение , из которого легко найти, что и следовательно .
По теореме Пифагора в треугольнике BKP находим катет BK:
.Для дальнейших вычислений нам понадобится CosC. По основному тригонометрическому тождеству
Найдем стороны BKP. Для этого нам потребуется синус угла B, который равен
Заметим, что окружность, касающаяся сторон четырехугольника АРКС, также касается и трех сторон треугольника АВС и поэтому вписана в него. Как известно равнобедренный треугольник однозначно определяется двумя независимыми друг от друга элементами. Один из них — угол при основании (а именно его синус), а в качестве второго дана длина отрезка РК. К каждой вписанной в треугольник окружности можно провести касательную, перпендикулярную боковой стороне. Это проиллюстрировано на рисунке.Можно провести перпендикулярную прямую m к боковой стороне и, сдвигая ее параллельно в направлении основания, найти такое положение, при котором она каснется нашей окружности. Только отрезок касательной, зажатый между сторонами этого треугольника, может быть разным. Поскольку он дан по условию, то это вместе с синусом угла является уникальной о треугольнике АВС, полностью его определяющей. Поэтому можно рассчитывать на нахождение его всех элементов. Найдем все стороны, а затем стандартным образом (через формулу площади ) найдем радиус вписанной окружности в наш треугольник.
Итак, рассмотрим первый случай, когда прямая пересекает боковую сторону. Решение задачи С2 во втором случае опишем чуть менее подробно.
Для начала необходимо учесть все варианты условия и обратить внимание на то, что прямая, о которой идет речь может пересечь боковую сторону треугольника, а может перечь и основание. Такое раздвоение настоящая ловушка для абитуриента, ибо в школьников практически не учат исследовать возможные варианты в условиях задач. Репетитор по математике вынужден компенсировать этот недостаток на своих занятиях.
Решение репетитора по математике
Прямая, перпендикулярная к боковой стороне равнобедренного треугольника отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если длина отрезка прямой, заключенного между сторонами треугольника, равна 24, а синус угла при основании равен .
Задача С4 на ЕГЭ по математике в 2011году
Планиметрия на прошедшем ЕГЭ по математике была представлена задачей на вписанную в четырехугольник окружность. Во все времена комбинация фигур являлась популярной темой у составителей экзаменационных вариантов, так как предоставляла возможность проверить целый спектр знаний на базе одной номера. Именно такой меркой выступила задача С4 на ЕГЭ в 2011 году. Окружность — уникальное связующее звено для элементов многоугольников. Уделяя ей достаточное время при подготовке к ЕГЭ, репетитор по математике значительно повышает шансы ученика получить за C4 максимальный балл. Как было в этом году? Публикую свое решение с подробными комментариями и советами.
Автор: Колпаков А.Н. on 17 июня 2011
Подготовка к ЕГЭ по математике. Решение задачи С4 на ЕГЭ от 6 июня 2011года
Профессиональный репетитор по математике, методист. Опыт работы 18 лет
Подготовка к ЕГЭ по математике с репетитором. Решение задачи С4 на ЕГЭ в 2011 году. Колпаков Александр Николаевич
Комментариев нет:
Отправить комментарий